Gaussova funkce

Vzorce pro výpočet derivace (3.4-3.7) předpokládají pouze, že RBF jednotky počítají nějakou obecnou radiální funkci $\varphi$. Podívejme se nyní na nejrozšířenější případ, RBF jednotky s Gaussovo funkcí, t.j. $\varphi(z) = e^{-z^2}$.

$$\frac{\partial E_1}{\partial w_{kq}} = \sum_{t=1}^{N} e_q^t e^{-\left(\frac{\parallel \vec{x}^t - \vec{c}_k \parallel_{C_k}}{b_k}\right)^2}$$ (3.9)

$$\frac{\partial E_1}{\partial \vec{c}_k} = \frac{2}{b_k^2}{\bf\Sigma^{-1}}_k \sum_{t=1}^{N} [\vec{x}^t-\vec{... ...e^{-\left(\frac{\parallel \vec{x}^t - \vec{c}_k \parallel_{C_k}}{b_k}\right)^2}$$ (3.10)

$$\frac{\partial E_1}{\partial b_k} = \frac{2}{b_k^3}\sum_{t=1}^{N} \left(\parallel\vec{x}^t-\vec{c}_k\... ...e^{-\left(\frac{\parallel \vec{x}^t - \vec{c}_k \parallel_{C_k}}{b_k}\right)^2}$$ (3.11)

$$\frac{\partial E_1}{\partial {\bf\Sigma^{-1}}_k} = -\frac{1}{b_k^2}\sum_{t=1}^{N} [\vec{x}^t-\vec{c}^k][\vec{x}^t-\v... ...e^{-\left(\frac{\parallel \vec{x}^t - \vec{c}_k \parallel_{C_k}}{b_k}\right)^2}$$ (3.12)

Postup výpočtu je stejný jako v algoritmu 3.4.1, ale výpočet se zjednodušší. Srovnáme-li vzorečky (3.4 - 3.7) se vzorečky (3.9 - 3.12), vídíme, že místo členu $\varphi_k'\left(\vec{x}^t\right)\sum_{s=1}^m e_s^{t}w_{ks}$ (viz také krok 6 algoritmu 3.4.1) nyní potřebujeme počítat jednodušší člen

$$\sum_{s=1}^m w_{ks}e_s^{t}e^{-\left(\frac{\parallel \vec{x}^t - \vec{c}_k \parallel_{C_k}}{b_k}\right)^2}.$$

Tedy odpadá výpočet derivace $\varphi_k'(\vec{x}^t)$ a navíc jednotlivé sčítance sumy počítáme již v kroku 5. Můžeme je tedy rovnou sčítat a výpočet tohoto členu v kroku 6 odpadá.

Gaussova funkce má navíc tu výhodu, že svůj parametr umocňuje. Vždy stačí spočítat jen hodnotu potenciálu na druhou a tedy při vyhodnocení vzdálenosti nemusíme odmocňovat.